基于局部增强傅里叶神经算子的偏微分方程求解方法

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作者 罗驰 陆凌云 刘飞 《计算机科学》 北大核心 2025年第9期144-151,共8页

偏微分方程(PDE)是描述现实系统的重要数学工具,对其进行求解可以预测和分析系统的行为。PDE的解析解通常难以获取,一般通过数值法进行近似解算,但数值法求解参数化PDE时效率较低。近年来,利用深度学习求解PDE的方法在应对上述问题时展... 偏微分方程(PDE)是描述现实系统的重要数学工具,对其进行求解可以预测和分析系统的行为。PDE的解析解通常难以获取,一般通过数值法进行近似解算,但数值法求解参数化PDE时效率较低。近年来,利用深度学习求解PDE的方法在应对上述问题时展现出了优势,特别是傅里叶神经算子FNO(Fourier Neural Operator)已在此类问题中展现出显著成效。然而,FNO仅通过频域上的卷积来提取全局信息,难以捕获PDE的多尺度信息。针对此挑战,提出一种基于局部增强的FNO模型,在傅里叶层引入并行多尺寸卷积模块,通过不同尺寸的卷积提高模型捕获局部多尺度信息的能力。同时,在线性层后引入一种多分支特征融合模块,通过将数据提升到不同通道进行学习来提高模型整合多通道信息的能力。实验结果表明,该模型在Burgers方程的求解中误差降低了30.9%,在Darcy Flow方程的求解中误差降低了18.5%,在Navier-Stokes方程的求解中误差降低了5.5%。 展开更多

关键词 深度学习 偏微分方程 傅里叶神经算子 多尺寸卷积 多分支特征融合 多尺度pde

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基于神经网络的偏微分方程求解方法研究综述 被引量：44

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作者 查文舒 李道伦 +2 位作者 沈路航 张雯 刘旭亮 《力学学报》 EI CAS CSCD 北大核心 2022年第3期543-556,共14页

神经网络作为一种强大的信息处理工具在计算机视觉,生物医学,油气工程领域得到广泛应用,引发多领域技术变革.深度学习网络具有非常强的学习能力,不仅能发现物理规律,还能求解偏微分方程.近年来基于深度学习的偏微分方程求解已是研究新热... 神经网络作为一种强大的信息处理工具在计算机视觉,生物医学,油气工程领域得到广泛应用,引发多领域技术变革.深度学习网络具有非常强的学习能力,不仅能发现物理规律,还能求解偏微分方程.近年来基于深度学习的偏微分方程求解已是研究新热点.遵循于传统偏微分方程解析解、偏微分方程数值解术语,本文称用神经网络进行偏微分方程求解的方法为偏微分方程智能求解方法或偏微分方程神经网络求解方法.本文首先简要介绍偏微分方程智能求解发展历程,然后从反演未知偏微分方程与求解已知偏微分方程两个角度展开讨论,重点讨论已知偏微分方程的求解方法.根据神经网络中损失函数的构建方式,将偏微分方程求解方法分为3大类:第1类是数据驱动,主要从数据中学习偏微分方程,可以应用于恢复方程、参数反演等;第2类是物理约束,即在数据驱动的基础上,辅以物理约束,在损失函数中加入控制方程等物理规律,减少网络对标签数据的依赖,大幅提高泛化能力与应用价值;第3类物理驱动(纯物理约束),完全不使用标签数据,仅通过物理规律求解偏微分方程,目前仅适用于简单偏微分方程.本文从这3个方面介绍偏微分方程智能求解的研究进展,涉及全连接神经网络、卷积神经网络、循环神经网络等多种网络结构.最后总结偏微分方程智能求解的研究进展,给出相应的应用场景以及未来研究展望. 展开更多

关键词 神经网络 偏微分方程智能求解 数据驱动 物理约束

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偏微分方程与微分代数方程的一致求解方法 被引量：3

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作者 李志华 喻军 杨红光 《中国机械工程》 EI CAS CSCD 北大核心 2015年第4期441-445,共5页

Modelica语言是一种复杂物理系统多领域统一建模语言,但目前该语言只能解决由微分代数方程(DAE)描述的问题,而不能解决由偏微分方程(PDE)表达的问题。为此,提出一种偏微分方程与微分代数方程的一致求解方法,利用所构建的径向基函数配点... Modelica语言是一种复杂物理系统多领域统一建模语言,但目前该语言只能解决由微分代数方程(DAE)描述的问题,而不能解决由偏微分方程(PDE)表达的问题。为此,提出一种偏微分方程与微分代数方程的一致求解方法,利用所构建的径向基函数配点无网格法直接将偏微分方程在空间上离散成一系列的微分代数方程,然后采用成熟的微分代数方程求解器进行求解。实例结果表明,该方法在不改变Modelica语法的前提下,能较好地实现偏微分方程与微分代数方程的一致求解,且求解精度高、边界条件处理简单,有利于Modelica直接求解复杂工程系统中多领域耦合、时间域与空间域耦合的复杂问题。 展开更多

关键词 多领域统一建模 MODELICA 偏微分方程(pde) 微分代数方程(DAE)

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符号—数值混合方法求解偏微分方程的算法设计与实现

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作者 蒋青松 《塔里木大学学报》 2009年第4期22-25,共4页

本文作出了将符号计算方法和数值计算方法结合起来求解偏微分方程的研究工作,这是求解比较复杂的偏微分方程的新途径。本文的意义在于给出求解复杂的偏微分方程的新思维和新方法。在求解过程中,运用了计算机代数的有关知识并且借助了计... 本文作出了将符号计算方法和数值计算方法结合起来求解偏微分方程的研究工作,这是求解比较复杂的偏微分方程的新途径。本文的意义在于给出求解复杂的偏微分方程的新思维和新方法。在求解过程中,运用了计算机代数的有关知识并且借助了计算机代数系统中的Maple和Matlab软件,求解过程简易可行。 展开更多

关键词 混合方法 求解 偏微分方程 算法 机器求解

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用VB和Matrix VB混合编程求解偏微分方程 被引量：4

5

作者 刘义辉 贺小华 尹侠 《南京工业大学学报（自然科学版）》 CAS 2002年第6期91-94,共4页

对MatrixVB作了简单介绍,通过一个具体的例子演示了如何在VisualBasic6 0(以下简称VB)中调用MatrixVB的函数,将MATLAB的强大的计算功能与VB在图形用户界面(Windows界面)开发方面的优势结合起来,有效地解决了复杂的偏微分方程的求解问题。

关键词 混合编程 VISUALBASIC MATRIXVB 偏微分方程 求解问题 传热学

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基于K-SVD的偏微分方程模型在毫米波图像恢复中的应用 被引量：5

6

作者 尚丽 苏品刚 《计算机应用》 CSCD 北大核心 2012年第3期756-758,共3页

在图像被大噪声污染或具有较低分辨率时,传统的偏微分方程(PDE)模型的稳态解会产生明显的阶梯效应,恢复图像质量较差。针对此缺点,提出了一种新的基于K-奇异值分解(K-SVD)的PDE图像恢复方法,并应用于毫米波(MMW)图像的恢复。K-SVD是一... 在图像被大噪声污染或具有较低分辨率时,传统的偏微分方程(PDE)模型的稳态解会产生明显的阶梯效应,恢复图像质量较差。针对此缺点,提出了一种新的基于K-奇异值分解(K-SVD)的PDE图像恢复方法,并应用于毫米波(MMW)图像的恢复。K-SVD是一种图像稀疏表示方法,对图像进行稀疏估计的同时实现去噪,对噪声方差较大的图像具有较好的去噪鲁棒性。首先采用K-SVD对MMW图像进行去噪,对去噪图像再应用全变分(TV)模型的PDE方法进行恢复。对所提出的算法分别使用模拟的MMW图像和真实的MMW图像进行测试,并进一步和K-SVD、PDE方法比较,同时使用峰值信噪比(PSNR)对恢复图像进行评价。根据不同噪声方差下的PSNR数据和恢复图像的视觉效果,实验结果证明了所提方法能够有效地恢复MMW图像。 展开更多

关键词 偏微分方程(pde) K-奇异值分解(K-SVD) 毫米波图像 稀疏表示 图像去噪

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基于矩形NAM和偏微分方程的灰度图像压缩方法 被引量：1

7

作者 胡卫军 万琳 陆永亮 《小型微型计算机系统》 CSCD 北大核心 2010年第6期1204-1208,共5页

借助矩形NAM图像表示方法和偏微分方程技术,提出一种新的灰度图像压缩方法.该方法在编码端把原始图像逆布局为若干矩形子块,并采用坐标压缩方法存储每个子块的位置、大小.在解码端,采用偏微分方程进行图像修复,有效消除解码图像中的方... 借助矩形NAM图像表示方法和偏微分方程技术,提出一种新的灰度图像压缩方法.该方法在编码端把原始图像逆布局为若干矩形子块,并采用坐标压缩方法存储每个子块的位置、大小.在解码端,采用偏微分方程进行图像修复,有效消除解码图像中的方块效应.该方法的时间复杂度为,其中n为灰度图像像素数.实验表明:在保持图像质量的前提下,该方法具有更高的压缩比和更少的块数,具有较高实用价值. 展开更多

关键词 偏微分方程(pde) 非对称逆布局模式表示模型(NAM) 图像压缩

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一类奇积分方程组的求解及在偏微分方程上的应用

8

作者 吕冠国 《云南师范大学学报（哲学社会科学版）》 1977年第2期59-69,共11页

本文讨论混合型偏微分方程 的问题T之存在性定理。

关键词 偏微分方程 积分方程组 唯一性定理 奇性阶 存在性定理 混合型 求解 有界 反演 表达式

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基于PDE的图像去噪方法 被引量：6

9

作者 陈龙 蔡光程 《计算机工程与应用》 CSCD 北大核心 2015年第16期142-145,共4页

针对P-M非线性扩散模型以及自蛇模型对图像滤波的不足,为了充分利用两种模型各自的优势,提出了一种新的基于自蛇模型与P-M扩散模型相混合的去噪方法,同时在其扩散方程中添加了忠诚项,这样噪声去除与边缘保留就可以得到一个较好的效果。... 针对P-M非线性扩散模型以及自蛇模型对图像滤波的不足,为了充分利用两种模型各自的优势,提出了一种新的基于自蛇模型与P-M扩散模型相混合的去噪方法,同时在其扩散方程中添加了忠诚项,这样噪声去除与边缘保留就可以得到一个较好的效果。最后实验结果表明,该方法既能有效去除图像噪声,也能很好地保持图像的边缘等细节信息。 展开更多

关键词 图像去噪 自蛇模型 偏微分方程(pde) 非线性扩散

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一种构造三维双曲型方程完全守恒差分格式的方法 被引量：3

10

作者 吴开腾 宁建国 尚新春 《北京理工大学学报》 EI CAS CSCD 北大核心 2001年第5期541-547,共7页

研究三维双曲型方程组的完全守恒差分格式 .在差分格式中引入参数的方法 ,针对三维欧拉双曲型方程组进行讨论 .通过一系列变换和运算技巧 ,得到三维双曲型方程组的完全守恒差分格式 .理论上证明了这些完全守恒差分格式具有二阶精度 ,并... 研究三维双曲型方程组的完全守恒差分格式 .在差分格式中引入参数的方法 ,针对三维欧拉双曲型方程组进行讨论 .通过一系列变换和运算技巧 ,得到三维双曲型方程组的完全守恒差分格式 .理论上证明了这些完全守恒差分格式具有二阶精度 ,并对三维非定常无粘性、无热传导和可压缩的欧拉流体力学方程组建立含待定参量的差分格式 ,为它的数值求解提供了一种方便可行的差分格式 . 展开更多

关键词 双曲型方程 守恒律 完全守恒差分格式 流体动力学方程 数值求解 偏微分方程

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组合NNSC收缩技术和改进四阶PDE的MMW图像恢复 被引量：2

11

作者 尚丽 苏品刚 +1 位作者 颜廷秦 淮文军 《激光杂志》 CAS CSCD 北大核心 2013年第1期28-30,共3页

毫米波(MMW)图像含有大量未知噪声,仅用一种方法恢复的效果较差,因此结合非负稀疏编码(NNSC)收缩技术和改进四阶偏微分方程(PDE)模型的优点,提出了一种基于组合处理的MMW图像恢复方法。NNSC收缩法具有自适应消噪图像的特性,和数据的属... 毫米波(MMW)图像含有大量未知噪声,仅用一种方法恢复的效果较差,因此结合非负稀疏编码(NNSC)收缩技术和改进四阶偏微分方程(PDE)模型的优点,提出了一种基于组合处理的MMW图像恢复方法。NNSC收缩法具有自适应消噪图像的特性,和数据的属性无关;而改进四阶PDE能够消除二阶PDE产生的阶梯效应,同时避免光滑区域不平整的现象,具有较好的图像恢复效果。分别采用模拟的和真实的MMW图像进行测试,并用相对信噪比(RSNR)进行评判,实验表明,与NNSC收缩、基于四阶的PDE模型以及小波收缩等方法相比,所提出的方法能够有效地用于MMW图像的恢复。 展开更多

关键词 毫米波(MMW)图像 非负稀疏编码(NNSC) 偏微分方程(pde) 收缩技术 图像恢复 相对信噪比(RSNR)

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基于PDE算法的指静脉图像预处理 被引量：1

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作者 张凤春 于思瑶 郭树旭 《吉林大学学报（理学版）》 CAS CSCD 北大核心 2012年第3期552-556,共5页

为了更好地去除手指静脉图片中的噪声,提出一种基于偏微分方程算法(PDE)的去噪新模型.该模型在P-M模型的基础上,采用新的扩散函数,并结合四阶PDE模型对原模型结构进行变换.用合成图像和真实指静脉图像分别对新模型进行实验验证,结果表明... 为了更好地去除手指静脉图片中的噪声,提出一种基于偏微分方程算法(PDE)的去噪新模型.该模型在P-M模型的基础上,采用新的扩散函数,并结合四阶PDE模型对原模型结构进行变换.用合成图像和真实指静脉图像分别对新模型进行实验验证,结果表明,相对于P-M模型,新模型使信噪比(SNR)值提高了约5 dB,且能在去除噪声的同时很好地保持指静脉特征. 展开更多

关键词 偏微分方程(pde) 图像去噪 P-M模型 信噪比(SNR)

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基于增广拉格朗日法的动态平衡物理信息神经网络

13

作者 童剑城 范斌 +2 位作者 林至诚 熊美馨 肖瑶 《计算机工程与应用》 北大核心 2025年第20期170-181,共12页

物理信息神经网络(physics-informed neural network,PINN)是深度学习在求解偏微分方程(partial differen-tial equation,PDE)领域中的一个重要方法。该方法通过将PDE的物理约束直接嵌入神经网络的损失函数,有效缓解了传统方法对大量数... 物理信息神经网络(physics-informed neural network,PINN)是深度学习在求解偏微分方程(partial differen-tial equation,PDE)领域中的一个重要方法。该方法通过将PDE的物理约束直接嵌入神经网络的损失函数,有效缓解了传统方法对大量数据的依赖问题。然而,在标准PINN框架中,各损失项(如PDE约束、初始条件和边界条件等)的权重通常设定为固定值,缺乏随训练过程动态调整的能力,导致难以平衡各损失项的影响,从而影响预测精度。针对上述问题,提出了一种基于增广拉格朗日法(augmented Lagrangian method,ALM)的动态平衡物理信息神经网络。该方法通过引入自适应的拉格朗日乘子和惩罚参数动态更新规则,增强了对不同约束条件的灵活处理能力与适应性。最后,通过在Burgers方程、Helmholtz方程等五个典型方程上的数值实验验证,结果表明,与现有的动态平衡策略相比,该方法在预测精度上取得了显著提升。 展开更多

关键词 偏微分方程(pde)求解 物理信息神经网络(PINN) 自适应加权 增广拉格朗日法(ALM) 深度学习

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一种自适应耦合TV和高阶PDE的图像放大模型

14

作者 张颖 刘晓春 周琳 《现代电子技术》 2011年第9期80-82,86,共4页

针对TV模型存在分块效应,而四阶PDE模型具有保持平坦区域光滑性的特点,提出自适应耦合TV和四阶PDE的正则化图像放大模型。根据图像内容合理调整耦合系数,在图像渐变和平坦区域运用四阶PDE扩散,消除分块效应;而在图像的突变区域运用TV模... 针对TV模型存在分块效应,而四阶PDE模型具有保持平坦区域光滑性的特点,提出自适应耦合TV和四阶PDE的正则化图像放大模型。根据图像内容合理调整耦合系数,在图像渐变和平坦区域运用四阶PDE扩散,消除分块效应;而在图像的突变区域运用TV模型滤波,保持突变边缘。实验结果表明,该算法是一种有效的图像放大方法。 展开更多

关键词 图像放大 偏微分方程 总变分 高阶pde

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基于Matlab PDETOOL的渗流力学可视化教学与上机实验 被引量：7

15

作者 苏关东 顾勋 +3 位作者 赵兰苓 孙德永 韩贝宇 陈林辉 《实验室研究与探索》 CAS 北大核心 2017年第8期137-142,160,共7页

为提高渗流力学的课堂效率,针对渗流力学学科自身的特点及其在教学实践中普遍存在的问题,提出了将Matlab PDE工具箱引入课堂的教学方法:介绍了利用Matlab中的PDE工具箱(PDETOOL)对渗流力学中经典数学模型进行求解的方法和步骤,归纳了常... 为提高渗流力学的课堂效率,针对渗流力学学科自身的特点及其在教学实践中普遍存在的问题,提出了将Matlab PDE工具箱引入课堂的教学方法:介绍了利用Matlab中的PDE工具箱(PDETOOL)对渗流力学中经典数学模型进行求解的方法和步骤,归纳了常见的油气渗流数学模型和边界条件,并利用PDETOOL对渗流力学中一源一汇、两源两汇、稳定渗流、弹性不稳定渗流等经典的模型进行了数值模拟,实现了各经典渗流模型压力场、流场的可视化,有利于帮助学生理解流函数、压力波、导压系数等抽象概念,加深学生对压力波传播,不稳定渗流压力衰竭等抽象过程的感性认识,提升学生上课的兴趣和热情;同时提出了在渗流力学教学过程中增设上机实验内容的教学建议,充分发挥可视化教学的优势,为数值模拟、油藏工程等课程打基础,使学生对石油工程整个专业的知识体系产生宏观的认识,提高教学质量。 展开更多

关键词 pde工具箱 渗流力学 偏微分方程 数值模拟 可视化 教学

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基于PDE的图像增强改进方法研究 被引量：3

16

作者 荆萍 刘丽 陈伟 《科学技术与工程》 2011年第4期752-755,共4页

实际应用中,图像不仅需要改善反差而且还有噪声污染。针对传统方法对图像先后做反差增强和去噪所产生的不可避免的缺陷,提出一种基于PDE的改进的反差增强方法,算法将增强和去噪过程统一起来同步进行,并加入一个特殊调整项,进一步改善图... 实际应用中,图像不仅需要改善反差而且还有噪声污染。针对传统方法对图像先后做反差增强和去噪所产生的不可避免的缺陷,提出一种基于PDE的改进的反差增强方法,算法将增强和去噪过程统一起来同步进行,并加入一个特殊调整项,进一步改善图像视觉效果。实验证明改进后的方法整体上比传统方法具有更好的性能,能够有效地避免传统方法的缺陷。 展开更多

关键词 反差增强 TV去噪 同步 偏微分方程(Partial Differentical Eguations pde)

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动压气体轴承性能计算方法研究 被引量：19

17

作者 戚社苗 耿海鹏 虞烈 《机械强度》 EI CAS CSCD 北大核心 2006年第3期369-373,共5页

通过数学变换,将动压气体润滑Reynolds方程变换成标准的椭圆型偏微分方程形式,以MATLABPDE(partialdifferentialequation)工具箱为求解器,编制迭代计算程序,实现动压气体轴承性能的高精度计算。文中的计算结果与以往发表的数值计算结果... 通过数学变换,将动压气体润滑Reynolds方程变换成标准的椭圆型偏微分方程形式,以MATLABPDE(partialdifferentialequation)工具箱为求解器,编制迭代计算程序,实现动压气体轴承性能的高精度计算。文中的计算结果与以往发表的数值计算结果非常吻合,这表明所提出计算方法的正确性。文中计算方法的思想可以推广应用于其他类型轴承的性能计算及其他类型偏微分方程问题的求解中。 展开更多

关键词 动压气体轴承 计算方法 数学变换 椭圆型偏微分方程 MATLAB pde工具箱

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激光点火过程的二维模型及计算 被引量：4

18

作者 翁春生 王震 冯德成 《兵工学报》 EI CAS CSCD 北大核心 2005年第2期169-172,共4页

以热机理为基础 ,建立了激光点火过程的二维非稳态热传导模型 ,模型中考虑了激光光能分布、反应物浓度、对流换热和热辐射等因素对点火过程的影响。采用交替方向隐式算法求解偏微分方程。并以Mg/NaNO3药剂为研究对象 ,通过计算分析了激... 以热机理为基础 ,建立了激光点火过程的二维非稳态热传导模型 ,模型中考虑了激光光能分布、反应物浓度、对流换热和热辐射等因素对点火过程的影响。采用交替方向隐式算法求解偏微分方程。并以Mg/NaNO3药剂为研究对象 ,通过计算分析了激光脉宽、光束半径、材料热传导系数、浓度吸收等因素对点火的影响。结果表明 :入射功率、脉宽、光束半径是影响含能材料点火特性的主要因素 ;点火时间较短时 ,热传导系数的变化对点火影响较小 。 展开更多

关键词 交替方向 偏微分方程 光束 半径 隐式 求解 热传导系数 点火 非稳态热传导 二维模型

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基于物理模型的声音合成理论研究 被引量：1

19

作者 吴永忠 韩江洪 +2 位作者 张利 郑淑丽 程文娟 《电子学报》 EI CAS CSCD 北大核心 2003年第12期1885-1888,共4页

基于物理模型的声音合成技术是一种可以精确描述物体发声的方法 ,其实质是以物体的振动PDE方程为基础来直接合成声音 ,该方法已逐步成为目前声音合成技术领域内的研究热点 .本文从理论上和试验上证明了一个被研究者广为引用的一维基础PD... 基于物理模型的声音合成技术是一种可以精确描述物体发声的方法 ,其实质是以物体的振动PDE方程为基础来直接合成声音 ,该方法已逐步成为目前声音合成技术领域内的研究热点 .本文从理论上和试验上证明了一个被研究者广为引用的一维基础PDE方程存在的局限性 ,利用力学理论推导出了新的振动PDE方程 ,并从理论上和试验上证明了其正确性 ,从而提出了更具普遍意义的新一维声音合成基础方程 ,克服了传统方程的缺陷 . 展开更多

关键词 物理模型 声音合成 偏微分方程 局限性 pde

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基于不规则三角形网格和有限体积法的物理性流域水文模型 被引量：4

20

作者 王蕾 田富强 胡和平 《水科学进展》 EI CAS CSCD 北大核心 2010年第6期733-741,共9页

传统的栅格离散方式不能很好反映流域水文过程的边界特征,且难以实现流域水文过程的多尺度模拟。采用有限体积法构建了基于不规则三角形网格的物理性水文模型,将物理性描述的偏微分方程组在控制体积内积分得到空间半离散的常微分方程组... 传统的栅格离散方式不能很好反映流域水文过程的边界特征,且难以实现流域水文过程的多尺度模拟。采用有限体积法构建了基于不规则三角形网格的物理性水文模型,将物理性描述的偏微分方程组在控制体积内积分得到空间半离散的常微分方程组,保证数值求解中的水量平衡,并可与概念性描述部分水文过程(如截留、填洼等)的常微分方程组更好地耦合;建立了数值求解方案,采用Triangle对计算区域进行离散,并在沁河上游流域进行了验证,结果表明模型具有较高的模拟精度和良好的应用前景。 展开更多

关键词 不规则 三角形网格 有限体积法 物理性 流域水文模型 triangulated irregular network based finite volume methods 流域水文过程 常微分方程组 数值求解 偏微分方程组 离散方式 多尺度模拟 应用前景 水量平衡 上游流域 模拟精度 描述 控制体积

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